STATISTIK/PROBABILITAS

NAMA           : SYAFRIADIN

NPM               : 17 630 110

TUGAS 5       : STATISTIK/PROBABILITAS

UJI BEDA RATA-RATA

1.      Olah Data t Satu Sampel

            Uji t untuk satu sampel dalam istilah lain biasanya disebut dengan One Sample t-test Method, merupakan prosedur uji t untuk sampel tunggal jika rata-rata suatu variabel tunggal dibandingkan dengan suatu nilai konstanta tertentu. Uji t dipakai jika jumlah data sampel di bawah 30. Syarat uji t satu sampel :

• Data merupakan data kuantitatif
• Memenuhi asumsi berdistribusi normal

Hipotesis

H₀ : µ₁ = µ₂

H₁ : µ₁ ≠ µ₂

Statistik Uji

Contoh Kasus : Studi Kasus universitas X mengadakan penelitian mengenai rata­rata IQ mahasiswanya. Menurut isu yang berkembang, IQ para mahasiswa yang menuntut ilmu di Universitas tersebut kurang dari 140. Untuk membuktikan kebenaran isu tersebut, tim riset ingin mengambil sampel secara acak sebanyak 50 orang mahasiswa, kemudian melakukan test IQ kepada mereka. Data hasil tes IQ mahasiswa tersebut diperoleh data sebagai berikut:

No.	Nilai Ujian
1	154
2	140
3	138
4	134
5	141
6	140
7	144
8	139
9	149
10	141
11	141
12	143
13	140
14	138
15	137
16	145
17	132

No.	Nilai Ujian
18	143
19	141
20	141
21	135
22	145
23	138
24	144
25	143
26	147
27	146
28	144
29	143
30	138
31	135
32	139
33	140
34	145

No.	Nilai Ujian
35	134
36	136
37	142
38	138
39	148
40	142
41	136
42	148
43	141
44	139
45	141
46	135
47	135
48	149
49	143
50	140

Analisis Kasus

Penelitian ini bertujuan untuk menguji hipotesis rata­rata IQ para mahasiswa Universitas X. Dalam kasus ini, tidak ada informasi apapun mengenai nilai ragam populasi dari IQ mahasiswa di Universitas X. Oleh karena itu, statistik uji yang paling tepat adalah uji t satu sampel. Perlu diketahui bahwa uji t mengasumsikan bahwa sampel yang diambil berasal dari populasi yang terdistribusi atau menyebar normal (memiliki sebaran normal). Maka, harus dilakukan pengujian mengenai asumsi kenormalan. Statistik uji untuk kenormalan data yang paling sering digunakan untuk kasus ini adalah menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov atau juga disebut Lilliefors Test.

Uji Kenormalan Data

H0: Data menyebar normal v.s. 

H1: Data tidak menyebar normal. 

α = 0.05

Hasil analisis:

Lilliefors ( Kolmogorov-Smirnov) normality test

data: IQ

D = 0.1, p-value = 0.2416

Kesimpulan:

TERIMA H0, karena p­value > 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa data menyebar normal. Dengan demikian, uji­t dapat dilakukan untuk melakukan pengujian hipotesis bagi data IQ mahasiswa Universitas X.

Pengujian hipotesis dengan 1-sampel t-test.

H0: ≥ 135 v.s.

H1: < 135 (Uji 1 arah) 

α = 0.05

Hasil analisis:

One Sample t-test data: IQ

t = 1.5621, df = 49, p-value = 0.9377

alternative hypothesis: true mean is less than 140

95 percent confidence interval: -Inf 142.0732

sample estimates: mean of x 141

Kesimpulan:

TERIMA H0, karena p­value > 0.05. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa isu yang berkembang selama ini yang menyatakan bahwa rata­rata IQ mahasiswa Universitas X kurang dari 140 adalah tidak benar. Justru, rata­rata IQ mahasiswa Universitas X lebih besar atau setidak­tidaknya sama dengan 140.

2.      Olah Data t dua  Sampel

Bila seorang peneliti ingin mengetahui apakah parameter dua populasi berbeda atau tidak, maka uji statistik yang digunakan disebut uji beda dua mean. Umumnya, pendekatan yang dilakukan bisa dengan distribusi Z (uji Z), ataupun distribusi t (uji t). Uji Z dapat digunakan bila (1) standar deviasi populasi (σ) diketahui, dan (2) jumlah sampelnya besar (> 30). Bila kedua syarat tersebut tidak terpenuhi, maka jenis uji yang digunakan adalah uji t dua sampel (two sample t-test).

Berdasarkan hubungan antar populasinya, uji t dapat digolongkan kedalam dua jenis uji, yaitudependent sample t-test, dan independent sample t-test:

a.       Dependent sample t-test 

Dependent sample t test atau sering diistilakan dengan Paired Sampel t-Test, adalah jenis uji statistika yang bertujuan untuk membandingkan rata-rata dua grup yang saling berpasangan. Sampel berpasangan dapat diartikan sebagai sebuah sampel dengan subjek yang sama namun mengalami 2 perlakuan atau pengukuran yang berbeda, yaitu pengukuran sebelum dan sesudah dilakukan sebuah treatment. Syarat jenis uji ini adalah: (a) data berdistribusi normal; (b) kedua kelompok data adalah dependen (saling berhubungan/berpasangan); dan (c) jenis data yang digunakan adalah numeric dan kategorik (dua kelompok). Rumus t-test yang digunakan untuk sampel berpasangan (paired) adalah:

Contoh :  bila seorang Manejer perusahaan ingin mengetahui apakah ada perbedaan prestasi penjualan seles setelah mengikuti pelatihan marketing. Setelah dilakukan rekapitulasi jumlah penjualan terhadap 15 orang sales, diperoleh data sebagai berikut:

Kode sales	Rata-rata Penjualan (Unit/hari)
	Sebelum Mengikuti Program pelatihan	Setelah Mengikuti Program Pelatihan
Sales 1	2	4
Sales 2	3	3
Sales 3	3	4
Sales 4	2	3
Sales 5	3	4
Sales 6	3	5
Sales 7	4	3
Sales 8	2	3
Sales 9	3	3
Sales 10	4	4
Sales 11	4	4
Sales 12	4	4
Sales 13	2	4
Sales 14	3	3
Sales 15	3	3

Merumuskan hipotesis, yaitu:

Ho = Rata-rata penjualan sebelum mengikuti program pelatihan = Rata-rata penjualan setelah mengikuti program pelatihan,

H1 = Rata-rata penjualan sebelum mengikuti program pelatihan ≠ Rata-rata penjualan setelah mengikuti program pelatihan.

b.      Independent sample t-test 

Independent sample t-tash adalah jenis uji statistika yang bertujuan untuk membandingkan rata-rata dua grup yang tidak saling berpasangan atau tidak saling berkaitan. Tidak saling berpasangan dapat diartikan bahwa penelitian dilakukan untuk dua subjek sampel yang berbeda. Prinsip pengujian uji ini adalah melihat perbedaan variasi kedua kelompok data, sehingga sebelum dilakukan pengujian, terlebih dahulu harus diketahui apakah variannya sama (equal variance) atau variannya berbeda (unequal variance). Homogenitas varian diuji berdasarkan rumus:

Data dinyatakan memiliki varian yang sama (equal variance) bila F-Hitung < F-Tabel, dan sebaliknya, varian data dinyatakan tidak sama (unequal variance) bila F-Hitung > F-Tabel.

Bentuk varian kedua kelompok data akan berpengaruh pada nilai standar error yang akhirnya akan membedakan rumus pengujiannya.

Uji t untuk varian yang sama (equal variance) menggunakan rumus Polled Varians:

Uji t untuk varian yang berbeda (unequal variance) menggunakan rumus Separated Varians:

Contoh kasus. Kita ingin menguji metode pembelajaran baru terhadap tingkat penguasaan materi ajar pada mahasiswa.

1. Hipotesis

Ho : 1 = 2

H_A : ₁ ≠ ₂

2. Data hasil penelitian dari penggunaan metode pembelajaran baru adalah sebagaimana tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Data hasil penelitian dari penggunaan metode pembelajaran baru

Mahasiswa	Nilai Pre-test	Nilai post-test
1	70	75
2	60	65
3	50	70
4	65	80
5	55	60
6	40	60
7	45	70
8	65	70
9	60	65
10	70	75
11	60	65
12	50	75
13	30	65
14	45	70
15	40	70

3. Data analisis adalah sebagai berikut

Tabel 2. Tabel analisis data

Mahasiswa	Nilai Pre-test	Nilai post-test	Perbedaan
n	y1	y2	D	D2
1	70	75	5	25
2	60	65	5	25
3	50	70	20	400
4	65	80	15	225
5	55	60	5	25
6	40	60	20	400
7	45	70	25	625
8	65	70	5	25
9	60	65	5	25
10	70	75	5	25
11	60	65	5	25
12	50	75	25	625
13	30	65	35	1225
14	45	70	25	625
15	40	70	30	900
Jumlah	805	1035	230	5200
Y	53.67	69

Hitunglah

S²_D = [∑D² – ((∑D)²/n)]/[n-1]

= [5200 –((230)²/15)]/[15-1] = (5200 – 1673.333)/14 = 119.5238

S = √S²_D/n = √119.5238/15 = √7.968254 =2.82281

t_hit =(₁ – ₂)/S = (53.67 – 69)/2.82281 = -15.33/2.82281= -5.43076

Setelah itu, kita lihat nilai t table, sebagai nilai pembanding. Cara melihatnya adalah sebagai berikut. Pertama kita lihat kolom α = 0.025 pada Tabel 3. Nilai α ini berasal dari α 0.05 dibagi 2, karena hipotesis HA kita adalah hipotesis 2 arah (lihat hipotesis). Kemudian, kita lihat baris ke 14. Nilai 14 ini adalah nilai df, yaitu n-1. Nilai n adalah jumlah mahasiswa, yaitu 15 orang. Akhirnya, kita peroleh nilai t _table = 2.145.

t _table = t _{α/2 (df)} = t_{0.05/2 (n-1)}=t_0.025(15-1) = t_0.025(14) = 2.145

Tabel 3. Nilai t

df		α
	0.05	0.025	0.01	0.005
1	6.314	12.706	31.821	63.657
2	2.920	4.303	6.965	9.925
3	2.353	3.182	4.541	5.841
4	2.132	2.776	3.747	4.604
5	2.015	2.571	3.365	4.032
6	1.943	2.447	3.143	3.707
7	1.895	2.365	2.998	3.499
8	1.860	2.306	2.896	3.355
9	1.833	2.262	2.821	3.250
10	1.812	2.228	2.764	3.169
11	1.796	2.201	2.718	3.106
12	1.782	2.179	2.681	3.055
13	1.771	2.160	2.650	3.012
14	1.761	2.145	2.624	2.977
15	1.753	2.131	2.602	2.947
16	1.746	2.120	2.583	2.921
17	1.740	2.110	2.567	2.898
18	1.734	2.101	2.552	2.878
19	1.729	2.093	2.539	2.861
20	1.725	2.086	2.528	2.845
21	1.721	2.080	2.518	2.831
22	1.717	2.074	2.508	2.819
23	1.714	2.069	2.500	2.807
24	1.711	2.064	2.492	2.797
25	1.708	2.060	2.485	2.787
26	1.706	2.056	2.479	2.779
27	1.703	2.052	2.473	2.771
28	1.701	2.048	2.467	2.763
29	1.699	2.045	2.462	2.756
30	1.697	2.042	2.457	2.750
40	1.684	2.021	2.423	2.704
50	1.676	2.009	2.403	2.678
100	1.660	1.984	2.364	2.626
10000	1.645	1.960	2.327	2.576

4. Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Terima H₀, jika t_hit| < t _table, sebaliknya

Tolak H₀, alias terima H_A, jika t_hit| > t _table

5. Kesimpulan

Karena nila |t_hit|= 5.431 (tanda minus diabaikan) dan nilai t _table=2.145, maka kita tolak H₀, alias kita terima H_A. Dengan demikian,

₁≠ ₂, yaitu nilai pre-test tidak sama dengan nilai post-test. Lebih lanjut, kita lihat bahwa rata-rata nilai post-test lebih tinggi daripada nilai pre-test. Secara lengkap, kita dapat menyimpulkan bahwa metode pembelajaran baru secara nyata dapat meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap materi ajar yang diberikan.